原标题:吴国平:数学提分,学会利用函数图象解路程类问题

我们知道,如果在一个变化过程中,假设有两个变量x、y,如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应,那么就称x是自变量,y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取值范围叫做函数的值域。

函数是数学学习重要内容,无论是中考还是高考,函数一直是热门必考考点。中考考查函数的题型非常多,变化多端,如有函数综合问题、函数几何综合问题等等。同时在题目中蕴含了丰富的数学思想,如有数形结合思想、分类讨论思想、归纳思想等等,毫不夸张地说,函数是很多考生中考疑难点之一。

路程问题是中小学数学里面最常见的应用性问题之一,几乎从小学开始大家就需要学习。特别是进入初中之后,学了函数,路程问题结合函数相关知识内容,更加焕发不一样的光彩。

路程问题题目类型非常多,最常见的有相遇问题、追及问题等等。

路程问题是反映物体运动的应用题,其涉及到知识点较多,如有的涉及一个物体的运动,有的涉及两个物体的运动,有的涉及三个物体的运动等等。

要解决路程问题,关键在于要运用好函数相关知识内容,如图象与性质。

典型例题1:

昨天早晨7点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新大赛,赛后,他当天按原路返回,如图,是小明昨天出行的过程中,他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象.

根据下面图象,回答下列问题:

(1)求线段AB所表示的函数关系式;

(2)已知昨天下午3点时,小明距西安112千米,求他何时到家?

考点分析:

一次函数的应用.

题干分析:

(1)可设线段AB所表示的函数关系式为:y=kx+b,根据待定系数法列方程组求解即可;

(2)先根据速度=路程÷时间求出小明回家的速度,再根据时间=路程÷速度,列出算式计算即可求解.

当路程问题涉及两个物体运动的,一般是“相向运动”(相遇问题)、“同向运动”(追及问题)和“相背运动”(相离问题)三种情况。但归纳起来,不管是“一个物体的运动”还是“多个物体的运动”,不管是“相向运动”、“同向运动”,还是“相背运动”,他们的特点是一样的,具体地说,就是它们反映出来的数量关系是相同的,都可以归纳为:速度×时间=路程。

大多数情况下,我们根据“速度×时间=路程”这个关系式,就可以得到相关的函数关系。因此,一定要认真审题,理清题意,找出题目当中隐藏的“量”,通过“速度×时间=路程”这个关系式,建立相关的函数关系式,再结合函数的图像和性质,就可以正确解决问题。

典型例题2:

有一科技小组进行了机器人行走性能试验,在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上,甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发,历时7分钟同时到达C点,乙机器人始终以60米/分的速度行走,如图是甲、乙两机器人之间的距离y(米)与他们的行走时间x(分钟)之间的函数图象,请结合图象,回答下列问题:

(1)A、B两点之间的距离是 米,甲机器人前2分钟的速度为 米/分;

(2)若前3分钟甲机器人的速度不变,求线段EF所在直线的函数解析式;

(3)若线段FG∥x轴,则此段时间,甲机器人的速度为 米/分;

(4)求A、C两点之间的距离;

(5)直接写出两机器人出发多长时间相距28米.

考点分析:

一次函数的应用.

题干分析:

(1)结合图象得到A、B两点之间的距离,甲机器人前2分钟的速度;

(2)根据题意求出点F的坐标,利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式;

(3)根据一次函数的图象和性质解答;

(4)根据速度和时间的关系计算即可;

(5)分前2分钟、2分钟﹣3分钟、4分钟﹣7分钟三个时间段解答.

两个物体运动时,运动的方向与运动的速度有着很大关系,当两个物体“相向运动”或“相背运动”时,此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”(简称速度和),当两个物体“同向运动”时,此时两个物体的追及的速度就变为了“两个物体运动速度的差”(简称速度差)。

要正确的解答有关"路程问题”的应用题,必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向(相向,相背,同向),出发的时间(同时,不同时),出发的地点(同地,不同地),运动的路线(封闭,不封闭),运动的结果(相遇、相距多少、交错而过、追及)。

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