原标题:吴国平:数学压轴题重要考点攻略—数形结合思想

如何学好数学,学会运用数学知识去解决问题,最终考取高分,是大家非常关心的话题。在很多人眼里,数学学习无非就是多做题、多刷题,做多了题目。数学自然就会。这样的数学学习看似好像很有道理,但却忽视数学的内涵,忽视数学这一门科目的特殊性等等。或许最终一个人能通过刷题考取高分,但也会学的很累,更不能去感受到数学的美,达不到数学培养一个人逻辑思维的能力等等。

数学学习,我们不能仅仅只看到做题解题,更应该看到题目背后所蕴藏的丰富数学思想。提到数学思想,本人在很多文章当中都特别强调数学思想的重要性,数学思想方法可以说是数学的灵魂和精髓。

数学思想方法无论是在数学专业领域和数学教育范围内,还是在其它学科领域当中,都被广为使用和运用。因此,在义务教育阶段的《数学课程标准》当中,就将数学思想方法列为数学目标之一。

我们数学学习离不开做题解题,表面看似在解题,实则是通过解题来掌握数学知识,进一步感受数学思想方法。在数学学习中,其实我们都会运用到很多数学思想方法,如分类讨论思想、函数与方程思想、归纳思想、整体思想、类比思想、建模思想等等。

其中数形结合思想是数学解题当中最常用、最重要的数学思想方法之一,也是中学数学教育中最常见数学思想之一。运用数形结合思想,我们可以使某些抽象的数学问题变得更加直观化、生动化,能够让抽象思维转化成形象思维,有助于我们把握数学问题的本质,这样便使很多数学问题迎刃而解,让“难懂”解法变的容易理解和消化。

数形结合思想是指从几何直观角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻找代数问题的解决途径,或利用数量关系来研究几何图形的性质、解决几何问题的一种数学思想。因此,数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化。

典型例题分析1:

如图,已知点O(0,0),A(﹣5,0),B(2,1),抛物线l:y=﹣(x﹣h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.

(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;

(2)设点C的纵坐标为yc,求yc的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;

(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1:4时,求h的值.

考点分析:

二次函数综合题.

题干分析:

(1)把点B的坐标代入函数解析式,列出关于h的方程,借助于方程可以求得h的值;利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标;

(2)把点C的坐标代入函数解析式得到:yC=﹣h2+1,则由二次函数的最值的求法易得yc的最大值,并可以求得此时抛物线的解析式,根据抛物线的增减性来求y1与y2的大小;

(3)根据已知条件“O(0,0),A(﹣5,0),线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1:4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是(﹣1,0),(﹣4,0).由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值.

解题反思:

本题考查了二次函数综合题.该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点,综合性比较强,难度较大。

解答(3)题时,注意对h的值根据实际意义进行取舍。

随着新课改不断深入,中考数学试题从过去单纯追求难度,逐渐转变成更加突出对考生能力的考查,中考的目的就是为高一级学校选拔优秀的人才。从近几年的中考数学试题,我们就可以发现如果能巧妙运用数形结合这一思想方法去解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果。

简单地说数形结合思想方法,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,数形结合的应用内涵主要体现在两个方面:

1、利用图形的直观性研究数量关系;

2、应用数形结合的工具(数轴、平面直角坐标系)通过数量关系研究图形性质。

在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:

1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及函数图象的代数特征,对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;

2、恰当设未知数建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;

3、正确确定未知数的取值范围。

如何运用好数形结合思想,添加“辅助线”就显得尤为重要了,但如何添加辅助线并没有统一的方法,需要同学们灵活运用所学过的知识,方能看出辅助线怎么做。

一些几何题的证明或求解,由原图形分析探究,有时显得十分复杂,若通过适当的变换,即添加适当的辅助线(图),将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形,则能使原问题的本质得到充分的显示,通过对新图形的分析,原问题顺利获解。

典型例题分析2:

在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O;在Rt△PMN中,∠MPN=90°.

(1)如图1,若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分别交AD、AB于点E、F,请直接写出PE与PF的数量关系;

(2)将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α(0°<α<45°).

①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

②如图2,在旋转过程中,当∠DOM=15°时,连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出线段EF的长;

③如图3,旋转后,若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合),当BD=3BP时,猜想此时PE与PF的数量关系,并给出证明;当BD=m•BP时,请直接写出PE与PF的数量关系.

考点分析:

四边形综合题.

题干分析:

(1)根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可;

(2)①根据正方形的性质和旋转的性质证明△FOA≌△EOD,得到答案;

②作OG⊥AB于G,根据余弦的概念求出OF的长,根据勾股定理求值即可;

③过点P作HP⊥BD交AB于点H,根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系,根据解答结果总结规律得到当BD=m•BP时,PE与PF的数量关系。

解答:

解题反思:

本题考查的是正方形的性质和旋转变换,掌握旋转变换的性质、找准对应关系正确运用三角形全等和相似的判定和性质定理是解题的关键。

在运用数形结合思想解决问题,有时候正确作出辅助线是解题的重点。在解决几何相关的综合问题时候,需要架构一些基本图形来求证(解)时,往往要通过添加辅助线(图)来形成,添加辅助线(图),构成的基本图形是结果,构造的手段是方法。

在很多中考数学压轴题当中,运用数形结合等数学思想是解题的关键。数形结合思想因其能使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决,突出考生运用知识解决问题的能力,受到中考数学命题老师的极大青睐。

因此,在平时的数学学习当中,我们一定要认真领会数形结合思想的精髓,掌握好数形结合思想可帮助我们理解题意,分清已知量、未知量,理顺题中的逻辑关系。

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